设有可逆矩阵S∈Rn×n x∈Rn 且∥x∥s=∥Sx∥2是Rn上的向量范数． (1)若∥A∥s表示

正确答案：(1)根据算子范数的定义有令y=Sx因为S可逆所以当x≠0时y≠0于是有 (2)非负性x=0时∥x∥=∥xy^T∥_s=∥0∥_s=0；x≠0时xy^T≠0∥x∥=∥xy^T∥_s>0．齐次性 对任意c∈R有∥cx∥=∥(cx)y^T∥_s=∣c∣∥xy^T∥_s=∣c∣∥x∥．三角不等式 对任意x₁x₂∈Rⁿ有∥x₁+x₂∥=∥(x₁+x₂)y^T∥_s=∥x₁y^T+x₂y^T∥_s≤∥x₁y^T∥_s+∥x₂y^T∥_s=∥x₁∥+∥x₂∥．
(1)根据算子范数的定义,有令y=Sx,因为S可逆,所以当x≠0时,y≠0,于是有(2)非负性x=0时,∥x∥=∥xyT∥s=∥0∥s=0；x≠0时,xyT≠0,∥x∥=∥xyT∥s>0．齐次性对任意c∈R,有∥cx∥=∥(cx)yT∥s=∣c∣∥xyT∥s=∣c∣∥x∥．三角不等式对任意x1,x2∈Rn,有∥x1+x2∥=∥(x1+x2)yT∥s=∥x1yT+x2yT∥s≤∥x1yT∥s+∥x2yT∥s=∥x1∥+∥x2∥．