Α是n阶实矩阵 证明存在正交矩阵T 使T－1ΑT是三角矩阵的充要条件为Α的特征方程的根全是实数．请帮

正确答案：若T^－1ΑT为三角矩阵其中T为正交矩阵设它对角线上的元素为λ¹λ²…λⁿ．于是|λE一Α |=|T^－1||(λE—Α)||T|=|λE一T^－1ΑT|=即λ¹λ²…λⁿ是Α的特征值．由于Α和T都是实矩阵则T^－1ΑT也是实矩阵从而Α的特征值λ¹λ²…λⁿ全为实数． 反之我们对n用数学归纳法证明存在正交矩阵T使T^－1ΑT为三角矩阵．当n=1时显然结论成立．假设对n一1结论成立我们证明对n结论也成立． 设α¹是Α属于λ¹的特征向量不妨设α¹为单位向量．设Α的全部特征值为λ¹λ²…λⁿ将α¹扩充为n维欧氏空间的一组基α¹α²…αⁿ．设Α为线性变换σ在某一标准正交基下的矩阵．设σ在α¹α²…αⁿ下的矩阵为必存在正交矩阵M使M^－1ΑM=H．Α与H有相同的特征值从而D有特征值λ²…λⁿ．由归纳法假定存在正交矩阵G使G^－1DG为三角矩阵且对角线上的元素为λ²…λⁿ．不妨设G^－1DG为上三角矩阵．令．令T=MQ则T是正交矩阵且于是存在正交矩阵T使为三角矩阵．
若T－1ΑT为三角矩阵,其中T为正交矩阵,设它对角线上的元素为λ1λ2,…,λn．于是|λE一Α|=|T－1||(λE—Α)||T|=|λE一T－1ΑT|=,即λ1λ2,…,λn是Α的特征值．由于Α和T都是实矩阵,则T－1ΑT也是实矩阵,从而Α的特征值λ1λ2,…,λn全为实数．反之,我们对n用数学归纳法证明存在正交矩阵T,使T－1ΑT为三角矩阵．当n=1时,显然结论成立．假设对n一1结论成立,我们证明对n结论也成立．设α1是Α属于λ1的特征向量,不妨设α1为单位向量．设Α的全部特征值为λ1λ2,…,λn将α1扩充为n维欧氏空间的一组基α1α2,…,αn．设Α为线性变换σ在某一标准正交基下的矩阵．设σ在α1α2,…,αn下的矩阵为必存在正交矩阵M,使M－1ΑM=H．Α与H有相同的特征值,从而D有特征值λ2,…,λn．由归纳法假定,存在正交矩阵G,使G－1DG为三角矩阵,且对角线上的元素为λ2,…,λn．不妨设G－1DG为上三角矩阵．令．令T=MQ,则T是正交矩阵,且于是存在正交矩阵T,使为三角矩阵．