设A B∈Cn×n均为正定的Hermite矩阵 则AB为正定的Hermite矩阵的充要条件是AB=B

正确答案：必要性．设AB为正定的Hermite矩阵根据定义有(AB)^H=AB即B²A^H=AB同时有A^H=AB^H=B所以AB=BA．充分性．设AB=BA则(AB)^H=B^HA^H=BA=AB于是矩阵AB是Hermite矩阵．由于矩阵A是正定Hermite矩阵故存在一个正定的Hermite矩阵S使得A=S²则有AB=S²B．对矩阵AB施行相似变换得s^－1(AB)S=SBS=S^HBS则矩阵AB与矩阵S^HBS有相同的特征值且S^HBS是Hermite矩阵．对可得X^HS^HBSx=(Sx)^HB(Sx)>0即SHBS是正定的Hermite矩阵所以其所有的特征值为正从而矩阵AB所有的特征值为正即矩阵AB为正定的Hermite矩阵．
必要性．设AB为正定的Hermite矩阵,根据定义有(AB)H=AB,即B2AH=AB,同时有AH=A,BH=B,所以AB=BA．充分性．设AB=BA,则(AB)H=BHAH=BA=AB,于是矩阵AB是Hermite矩阵．由于矩阵A是正定Hermite矩阵,故存在一个正定的Hermite矩阵S,使得A=S2,则有AB=S2B．对矩阵AB施行相似变换得s－1(AB)S=SBS=SHBS,则矩阵AB与矩阵SHBS有相同的特征值,且SHBS是Hermite矩阵．对可得XHSHBSx=(Sx)HB(Sx)>0,即SHBS是正定的Hermite矩阵,所以其所有的特征值为正,从而矩阵AB所有的特征值为正,即矩阵AB为正定的Hermite矩阵．