若A=(αij)是n阶正定矩阵 则有det(A)≤α11α22…αnn 当且仅当A为对角矩阵时等式才

正确答案：记i=12…n并设D=diag(d₁d₂…d_n)．于是证明det(A)≤α₁₁α₂₂…α_nn等价于证明det(DAD)≤1．由DAD的构造知其对角元素都为1．令λ₁λ₂…λ_n为DAD的全部特征值则有 上式利用的算术－几何均值不等式的等号成立当且仅当所有的λ_i=1．因为A是正定矩阵可以对角化所以这种情况出现当且仅当A为对角矩阵．
记,i=1,2,…,n,并设D=diag(d1,d2,…,dn)．于是证明det(A)≤α11α22…αnn等价于证明det(DAD)≤1．由DAD的构造知,其对角元素都为1．令λ1,λ2,…,λn为DAD的全部特征值,则有上式利用的算术－几何均值不等式的等号成立当且仅当所有的λi=1．因为A是正定矩阵,可以对角化,所以这种情况出现当且仅当A为对角矩阵．