设A B是两个n阶实正交矩阵 证明∣AB∣=1当且仅当n一rank(A+B)为偶数．请帮忙给出正确答
设A，B是两个n阶实正交矩阵，证明∣AB∣=1当且仅当n一rank(A+B)为偶数．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
4j8***101
2024-11-11 19:49:04
正确答案：因∣A∣∣B∣∈{±1故∣AB∣=∣A－1B∣．又因为令C=A－1B则原题可化为：证明∣C∣=1当且仅当n一rank(E+C)为偶数． 显然C是实正交矩阵因此存在酉矩阵U使得
其中λ1λ2…λn是C的特征值∣λ1∣一∣λ2∣一…一∣λn∣． 由于C的虚特征值成对出现故∣C∣=λ1λ2…λn=(一1)rr是1λ2…λn中等于一1的λi的个数而
故∣c∣=1当且仅当n一rank(E+c)为偶数．
因∣A∣,∣B∣∈{±1,故∣AB∣=∣A－1B∣．又因为令C=A－1B,则原题可化为：证明∣C∣=1当且仅当n一rank(E+C)为偶数．显然C是实正交矩阵,因此存在酉矩阵U,使得其中λ1,λ2,…,λn是C的特征值,∣λ1∣一∣λ2∣一…一∣λn∣．由于C的虚特征值成对出现,故∣C∣=λ1λ2…λn=(一1)r,r是1,λ2,…,λn中等于一1的λi的个数,而故∣c∣=1,当且仅当n一rank(E+c)为偶数．
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