设∥A∥a是Cn×n上的相容矩阵范数 B C都是n阶可逆矩阵 且∥B－1∥a及∥C－1∥a都小于或等

正确答案：首先证明∥A∥_b=∥BAC∥_a是一个矩阵范数．正定性 对任意A≠0则BAC≠0即∥BAC∥_a>0且∥BAC∥_a=0当且仅当A=0．齐次性 ∥λA∥_b=∥B(λA)C∥_a=λ∥BAC∥_a=λ∥A∥_b. 三角不等式∥A₁+A₂∥_b=∥B(A₁+A₂)C∥_a≤∥BA₁C∥_a+∥BA₂C∥_a=∥A₁∥_b∥A₂∥_b下面证明相容性．∥A₁A₂∥_b=∥B(A₁A₂)C∥_a=∥(BA₁C)C^－1B^－1(BA₂C)∥_a≤∥BA₁C∥_a∥C_－1B_－1∥_a∥BA₂C∥_a≤∥BA₁C∥_a∥C_－1∥_a∥B_－1∥_a∥BA₂C∥_a≤∥BA₁C∥_a∥BA₂C∥_a=∥A₁∥_b∥A₂∥_b证毕．
首先证明∥A∥b=∥BAC∥a是一个矩阵范数．正定性对任意A≠0,则BAC≠0,即∥BAC∥a>0,且∥BAC∥a=0当且仅当A=0．齐次性∥λA∥b=∥B(λA)C∥a=λ∥BAC∥a=λ∥A∥b.三角不等式∥A1+A2∥b=∥B(A1+A2)C∥a≤∥BA1C∥a+∥BA2C∥a=∥A1∥b∥A2∥b下面证明相容性．∥A1A2∥b=∥B(A1A2)C∥a=∥(BA1C)C－1B－1(BA2C)∥a≤∥BA1C∥a∥C－1B－1∥a∥BA2C∥a≤∥BA1C∥a∥C－1∥a∥B－1∥a∥BA2C∥a≤∥BA1C∥a∥BA2C∥a=∥A1∥b∥A2∥b证毕．