设A∈Cn×n是非奇异矩阵 那么A1相似于A*当且仅当存在非奇异矩阵B∈Cn×n 使得A=B1B*．

正确答案：×
对于某个非奇异矩阵B∈Cn×n,如果有A=B1B*,那么A－1=(B*)－1B,并且B*A－1(B*)－1=B(B*)－1=(B1B*)*=A*,这样,A1可经相似矩阵B*相似于A*．反过来,如果A－1相似于A*,那么存在非奇异矩阵S∈Cn×n,使得SA－1s－1=A*．对θ∈R,令Sθ≡eiθS,且注意到SθA1Sθ1=eiθSA－1(ciθ。S1)=SA1S1=A*．另一方面,Sθ=A*SθA,且Sθ*=A*Sθ*A．相加这两个恒等式便得到Hθ=A*HθA,其中Hθ≡Sθ+Sθ*是Hermite矩阵．如果Hθ是奇异矩阵,那么存在某个非零x∈Cn,使得0=Hθx=Sθx+sθ*x,因而,一x=Sθ1Sθ*x=e2iθS1S*x,且S1S*x=－e2iθx．选取值θ=θ0∈[0,2π,使－e2iθ00不是S－1S*的特征值,所得到的Hermite矩阵H≡Hθ00是非奇异矩阵,且有性质H=A*HA．现在,选取任一复数α,使∣α∣=1,且α不是A*的特征值．令B≡β(αE－A*)H,其中复参数β≠0是有待选定的,不难看出B是非奇异矩阵．为了使A=B－1B*或BA=B*,经计算,而BA=β(αE－A*)HA=β(αHA—A*HA)=β(αHA－H)=H(αβA一βE)．如果能选定一个非零β使,就完成了证明,而当时,只要取就行．