设两条曲率大于0的C2曲线之间可建立(可微的)一一对应 使对应点切线处处相同．问：两曲线重合吗?请帮

正确答案：设一条曲线为x(s)(s为其弧长)则另一条曲线记为x(s)一x(s)+λ(s)V₁(s)其中S为其参数但未必为其弧长．于是根据题意有x^'(s)=x^'(s)+λ^'(s)V₁(s)+λ(s)V₁^'(s)=[1+λ^'(s)V₁(s)+λ(s)x(s)V₂(s)λ(s)k(s)=0．因为x>0故λ(s)=0从而x(s)=x(s)即得两曲线重合．注如果曲率大于0的条件删去则讨论如下：(1)如果恒有k(s)>0则λ(s)≡0从而即两曲线与x(s)重合．(2)如果F={s｜k(s)=0)不含区间则两曲线与x(s)重合．事实上由k(s)连续性知G={s｜k(s)>0为直线上的开集根据(1)λ(s)=0s∈G．故两曲线与x(s)在G上重合即．再由于F={s｜k(s)=0)不含区间故G={s｜k(s)≥0．根据与x(s)的连续性有即两曲线与x(s)重合．(3)如果F={s｜k(s)=0)含闭区间此时由k(s)=0s∈αβ并根据引理1．2．2x(s)限制在[αβ上为直线段V₁(s)=x^'(s)为常单位向量它是该直线段的方向向量．由于λ(s)≠0(α≤s≤β故(α则点集s∈[αβ)与{x(s)｜s∈[αβ))为同一切线上的线段．当λ(s)≠0(特别当λ(s)>0)时点集与{x(s)｜s∈[αβ))未必相同．类似参考文献[7第38页引理1构造R上的C^∞函数λ(s)使得λ^'(s)≥0且此时点集；显然也有．同样对F含半开半闭区间(αβ的情形有类似的上述结果．(5)当F={s｜k(s)=0)=R或F含(一∞α或F含[α+∞)时类似于(4)的讨论并有类似的结论．
设一条曲线为x(s)(s为其弧长),则另一条曲线记为x(s)一x(s)+λ(s)V1(s),其中S为其参数,但未必为其弧长．于是,根据题意,有x'(s)=x'(s)+λ'(s)V1(s)+λ(s)V1'(s)=[1+λ'(s)V1(s)+λ(s)x(s)V2(s),λ(s)k(s)=0．因为x>0,故λ(s)=0,从而x(s)=x(s),即得两曲线重合．注如果曲率大于0的条件删去,则讨论如下：(1)如果恒有k(s)>0,则λ(s)≡0,从而,即两曲线与x(s)重合．(2)如果F={s｜k(s)=0)不含区间,则两曲线与x(s)重合．事实上,由k(s)连续性知,G={s｜k(s)>0为直线上的开集,根据(1),λ(s)=0,s∈G．故两曲线与x(s)在G上重合,即．再由于F={s｜k(s)=0)不含区间,故G={s｜k(s)≥0．根据与x(s)的连续性,有,即两曲线与x(s)重合．(3)如果F={s｜k(s)=0)含闭区间此时,由k(s)=0,s∈α,β,并根据引理1．2．2,x(s)限制在[α,β上为直线段,V1(s)=x'(s)为常单位向量,它是该直线段的方向向量．由于λ(s)≠0(α≤s≤β,故(α,则点集s∈[α,β)与{x(s)｜s∈[α,β))为同一切线上的线段．当λ(s)≠0(特别当λ(s)>0)时,点集与{x(s)｜s∈[α,β))未必相同．类似参考文献[7第38页引理1,构造R上的C∞函数λ(s),使得λ'(s)≥0,且此时,点集；显然,也有．同样,对F含半开半闭区间(α,β的情形,有类似的上述结果．(5)当F={s｜k(s)=0)=R或F含(一∞,α或F含[α,+∞)时,类似于(4)的讨论,并有类似的结论．