证明在n维欧氏空间V中两两夹钝角(即夹角大于兀／2)的向量不能多于n+1个．请帮忙给出正确答案和分析

正确答案：对n作数学归纳法n=1时结论显然成立设对n－1维欧氏空间结论成立．当dim V=n时若V内有n+2个向量α₁…α_n+1α_n+12两两夹钝角则有(α_iα_j)≤01≤in+2)则V=M⊕M^⊥对于i=12…n+1设α_i=k_iα_n+2+β_i+(β_i∈M－)．因 (α_iα_n+2)=k_i(α_n+2α_n+2)<0故k_i<0．又当i≠j时(α_iα_j)=k_ik_j(α_n+2+α_n+2)+(β_iβ_j)<0．而k_ik_j(α_n+2α_n+2)>0故(β_iβ_j)<0．这样M_⊥是n一1维欧氏空间β₁β₂…β_n+1是M_⊥内n+1个两两夹钝角的向量与归纳假设矛盾．
对n作数学归纳法,n=1时结论显然成立,设对n－1维欧氏空间结论成立．当dimV=n时,若V内有n+2个向量α1,…αn+1,αn+12两两夹钝角,则有(αi,αj)≤0,1≤in+2),则V=M⊕M⊥,对于i=1,2,…,n+1,设αi=kiαn+2+βi+(βi∈M－)．因(αi,αn+2)=ki(αn+2,αn+2)<0,故ki<0．又当i≠j时,(αi,αj)=ki,kj(αn+2+αn+2)+(βi,βj)<0．而kikj(αn+2,αn+2)>0,故(βi,βj)<0．这样M⊥是n一1维欧氏空间,β1,β2…,βn+1是M⊥内n+1个两两夹钝角的向量,与归纳假设矛盾．