设∥x∥是Pn中的向量范数 A∈Pn×n 则∥Ax∥也是Pn中的向量范数的充要条件为A是可逆矩阵．请

正确答案：必要性．如果矩阵A不可逆则存在x≠0使得Ax=0即∥Ax∥=0这与向量范数的正定性矛盾所以矩阵A可逆． 充分性．若矩阵A可逆则对任意的x≠0；Ax≠0所以∥Ax∥>0正定性满足；又∥λAx∥=∣λ∣.∥Ax ∥齐次性满足；再由∥A(x+y)∥=∥Ax+Ay∥≤∥Ax∥+∥Ay∥三角不等式也满足．故∥Ax∥是向量范数．
必要性．如果矩阵A不可逆,则存在x≠0,使得Ax=0,即∥Ax∥=0,这与向量范数的正定性矛盾,所以矩阵A可逆．充分性．若矩阵A可逆,则对任意的x≠0；Ax≠0,所以∥Ax∥>0,正定性满足；又∥λAx∥=∣λ∣.∥Ax∥,齐次性满足；再由∥A(x+y)∥=∥Ax+Ay∥≤∥Ax∥+∥Ay∥,三角不等式也满足．故∥Ax∥是向量范数．