若A和B是任意两个m×n矩阵 则AHA=BHB当且仅当存在一个m×n酉矩阵Q 使得QA=B．请帮忙给
若A和B是任意两个m×n矩阵，则AHA=BHB当且仅当存在一个m×n酉矩阵Q，使得QA=B．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
463***101
2024-11-11 20:51:29
正确答案：×
充分性．若存在酉矩阵Q,使得QA=B,则BHB=AHQHQA=AHA．必要性．令A和B的奇异值分解分别为A=UA∑AVAH,B=UB∑BVBH,上式中的UA和UB均为m×m酉矩阵,VA和VB均为n×n酉矩阵,而m×n矩阵∑A和∑B分别包含了矩阵A和B的非负奇异值．由于AHA=VA∑AH∑AVAH,BHB=VB∑BH∑BVBH．若AHA=BHB,则有VA=VB.和∑A=∑B．定义矩阵Q=UBUAH,易知QA=UBUAHA=UBUAHUA∑AVAH=B．
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