对R3中定向光滑的2维闭曲面M 如果(Minkowski公式)设MCR3为2维光滑 定向 紧致曲面

正确答案：(dxe₃de₃)+(xde₃de₃)+(xe₃dde₃)=(ω₁e₁一ω₂e₂e₃ω₃₁e₁+ω₃₂e₂)+(xω₃₁e₁+ω₃₂e₂ω₃₁e₁+ω₃₂e₂)+(xe₃0)=(一ω₁∧ω₃₂+ω₂∧ω₃₁)+2ω₃₁∧ω₃₂(xe₁e₂)+0其中(**)dω₁₂=ω₁₃∧ω₃₂=一K_Gω₁∧ω₂参阅例2．11．1而(*)一ω₁∧ω₃₂+ω₃₂∧ω₃₁=2Hω₁∧ω₂证明如下：一ω₁∧ω₃₂+ω₂∧ω₃₁=一(ω₁∧(一h₂₁ω₁一h₂₂ω₂)+ω₂∧(一h₁₁ω₁一ω₁₂ω₂)=(h₂₂+h₁₁)ω₁∧ω₂=2Hω₁∧ω₂．或者选取正交参数系{uv(参阅例2．11．1)有对d(xndn)=2(H—K_Gφ)ω₁∧ω₂两边积分就得到即两边积分就得到作为Minkowski公式的应用我们给出两个有关球面特性的定理．
(dx,e3,de3)+(x,de3,de3)+(x,e3,dde3)=(ω1e1一ω2e2,e3,ω31e1+ω32e2)+(x,ω31e1+ω32e2,ω31e1+ω32e2)+(x,e3,0)=(一ω1∧ω32+ω2∧ω31)+2ω31∧ω32(x,e1,e2)+0其中(**)dω12=ω13∧ω32=一KGω1∧ω2,参阅例2．11．1,而(*)一ω1∧ω32+ω32∧ω31=2Hω1∧ω2,证明如下：一ω1∧ω32+ω2∧ω31=一(ω1∧(一h21ω1一h22ω2)+ω2∧(一h11ω1一ω12ω2)=(h22+h11)ω1∧ω2=2Hω1∧ω2．或者选取正交参数系{u,v(参阅例2．11．1),有对d(x,n,dn)=2(H—KGφ)ω1∧ω2两边积分,就得到即两边积分就得到作为Minkowski公式的应用,我们给出两个有关球面特性的定理．