设f(x)为Rn上的一个Cr函数(r≥1) M={x∈Rn｜f(x)=0}≠∮ 且对证明：R3中环面

正确答案：证法1环面的参数表示为x(uv)=((a+rcosu)cosv(a+rcosu)sinvrsinu)其中0u^'(uv)=(一rsinucosv一rsin usinvrcosu)x_v^'(uv)=(一(a+rcosu)sinv(a+rcosu)cosv0)单位法向量显然n(uv)为环面T²上的整体C^∞单位法向量场根据习题3．1.3(2)知环面T²是可定向的．证法2考察上述环面T²的参数表示选以(iπjπ)(ij=0±1)为中心、2π为边长的开正方形它对应环面的开集作为T²上的局部坐标邻域共9个覆盖了整个环面其中凡有非空交集的任何两个它们的局部坐标分别记为{uv必有其中ab=±π．因此根据定义3．1．2环面是可定向的．证法3 因为所以9个局部C^∞单位体积元素(2维情形也称为面积元)形(拼)成了环面T²上的C^∞单位体积元素．根据习题3．1-3注(2)环面T²是可定向的．
证法1环面的参数表示为x(u,v)=((a+rcosu)cosv,(a+rcosu)sinv,rsinu),其中0u'(u,v)=(一rsinucosv,一rsinusinv,rcosu),xv'(u,v)=(一(a+rcosu)sinv,(a+rcosu)cosv,0),单位法向量显然,n(u,v)为环面T2上的整体C∞单位法向量场,根据习题3．1.3(2)知,环面T2是可定向的．证法2考察上述环面T2的参数表示,选以(iπ,jπ)(i,j=0,±1)为中心、2π为边长的开正方形,它对应环面的开集作为T2上的局部坐标邻域,共9个覆盖了整个环面,其中凡有非空交集的任何两个,它们的局部坐标分别记为{u,v,,必有其中a,b=±π．因此根据定义3．1．2,环面是可定向的．证法3因为所以,9个局部C∞单位体积元素(2维情形也称为面积元)形(拼)成了环面T2上的C∞单位体积元素．根据习题3．1-3注(2),环面T2是可定向的．