对于R3中2维定向光滑闭曲面(紧致 无边的曲面称为闭曲面)M Gauss映射G：M→S2为满射．请帮

正确答案：设曲面M的外单位法向量场为n．对于任何单位向量a定义函数f：M→R．f(P)=OP.a(P∈M)．由于M是一个紧致、无边的曲面厂不为常数表明至少有一个最大值与最小值P_大与P_小分别为函数f的最大值点与最小值点(习题3．3．9图)．设U为P_大的开坐标邻域{uv为其局部坐标x(u(t)v(t))为过P_大的任一条曲线P_大=x(u(0)v(0))．于是f可表示为f(uv)=x(uv).af(u(t)v(t))=x(u(t)v(t)).a．由于f((u(t)v(t))在t=0处达到最大值故上式对任意过P_大的曲线成立所以在P_大处x_n^'⊥ax_v^'⊥a．这就证明了单位向量a∥n(P_大)．类似地a∥n(P_小)显然a=n(P_大)或a=n(P_小)．它表明Gauss映射G为满射．
设曲面M的外单位法向量场为n．对于任何单位向量a,定义函数f：M→R．f(P)=OP.a(P∈M)．由于M是一个紧致、无边的曲面,厂不为常数表明至少有一个最大值与最小值,P大与P小分别为函数f的最大值点与最小值点(习题3．3．9图)．设U为P大的开坐标邻域,{u,v为其局部坐标,x(u(t),v(t))为过P大的任一条曲线,P大=x(u(0),v(0))．于是,f可表示为f(u,v)=x(u,v).a,f(u(t),v(t))=x(u(t),v(t)).a．由于f((u(t),v(t))在t=0处达到最大值,故上式对任意过P大的曲线成立,所以在P大处,xn'⊥a,xv'⊥a．这就证明了单位向量a∥n(P大)．类似地,a∥n(P小),显然,a=n(P大)或a=n(P小)．它表明Gauss映射G为满射．