设曲面M：x(u v)=(ucosv usinv lnu)与(Riemann流形基本定理)n维C∞R

正确答案：(近代观点、不变观点或映射观点) 先证唯一性．设▽及都是 (Mg)=(M(>)的Riemann联络．则XXYZ)+(Y▽_XZ>+<▽_YZX>+(Z▽_YX>一<▽_ZXY>一(X▽_ZY>=(▽_XYZ>+(Y[XZ>+([YZX>+(Z▽_XY>+(Z[YX>2(▽_XYZ>=X=(Y[XZ>一(X[YZ>一(Z[YX>． (*)同理其中{e_i为局部C^∞规范正交基向量场而(▽_XYe_i>按公式(*)给出．如果为另一局部C^∞规范正交基向量场则也就是公式(*)与局部C^∞规范正交基的选取无关故▽_XY确实定义了一个整体C^∞切向量场．由Z的任意性通过式(*)作简单的运算可知▽满足线性联络的3个条件．此外由于2<▽_XY—▽_YX—[XYZ>={X一Z一(Z[YX>一{Y+X一z一(XYZ>一(Y[XZ>一(Z[XY>)一2([XYZ>=0又由于Z任意特别地Z=▽_XY-▽_YX一[XY所以T=▽_XY—▽_YX一[XY=0即▽满足(4)．另有2<▽_ZXY>+2<▽_ZYX)={Z(XY>+X(YZ> Y一(X[ZY>一+(Z+Y一X一一(Z[YX>一=2Z即Z=(▽_ZXY>+(x▽_ZY>这就证明了▽满足(5)．
(近代观点、不变观点或映射观点)先证唯一性．设▽及都是(M,g)=(M,(,>)的Riemann联络．则XXY,Z)+(Y,▽XZ>+<▽YZ,X>+(Z,▽YX>一<▽ZX,Y>一(X,▽ZY>=(▽XY,Z>+(Y,[X,Z>+([Y,Z,X>+(Z,▽XY>+(Z,[Y,X>2(▽XY,Z>=X=(Y,[X,Z>一(X,[Y,Z>一(Z,[Y,X>．(*)同理其中{ei为局部C∞规范正交基向量场,而(▽XY,ei>按公式(*)给出．如果为另一局部C∞规范正交基向量场,则也就是公式(*)与局部C∞规范正交基的选取无关,故▽XY确实定义了一个整体C∞切向量场．由Z的任意性,通过式(*)作简单的运算,可知▽满足线性联络的3个条件．此外,由于2<▽XY—▽YX—[X,Y,Z>={X一Z一(Z,[Y,X>一{Y+X一z一(X,Y,Z>一(Y,[X,Z>一(Z,[X,Y>)一2([X,Y,Z>=0,又由于Z任意,特别地Z=▽XY-▽YX一[X,Y,所以T=▽XY—▽YX一[X,Y=0,即▽满足(4)．另有2<▽ZXY>+2<▽ZY,X)={Z(X,Y>+X(Y,Z>Y一(X,[Z,Y>一+(Z+Y一X一一(Z,[Y,X>一=2Z,即Z=(▽ZX,Y>+(x,▽ZY>,这就证明了▽满足(5)．