证明：Mbbius带是不可定向的．请帮忙给出正确答案和分析 谢谢！

正确答案：×
不可定向曲面的一个著名例子为M6bius带．设想有一张矩形纸带(习题3．1．8图(I)),记作ABB1A1,用手捏着它的两头,然后像拧麻花一样将它扭转过来,再将线段AB与线段A1B1粘贴起来,但要使A与B1粘贴,而B与A1粘贴,这样得到的曲面就称为M6bius带．记这曲面为M-在M的中心线上任取一点P,在P点处指定一个单位法向量,当点P在曲面M上沿其中心线连续1变化时,这个单位法向量也连续地改变,当点P扫过一圈仍回到原来的出发点P时,单位法向量的方向正好与最初的单位法向量的方向相反(习题3．1．8图(Ⅱ))．这就说明Mtsbius带是不可定向的(严格的证明应该用反证法),即它是单侧曲面．蚂蚁在M6bius带上无需越过它的边界就能爬遍所有的地方．换另一种通俗的说法,那就是,有一个人提着红色油漆桶来刷M6bius带,那么他可以将M6bius带的所有部分全都刷上红色油漆,而无需越过它的边界．对于双侧曲面(如球面、柱面等)是绝对做不到的!上面只是一种定性的描述,就连连续变动的单位法向量场的描述也是不具体的．现在,我们运用M6bius带的参数表示来加以严格证明：证法1设Mobius带M的参数表示为从而,｜xu'(u,0)×xv'(u,0)｜=2,且为沿中心线C={(2cosu,2sinu,0)｜0≤u≤2π)的C∞单位法向量场,但n(0,0)=(1,0,0),n(2π,0)=(一1,0,O),即n(u,0)沿圆C走一圈,单位法向量场改变了方向(习题3．1．8图(Ⅲ))．根据习题3．1．3(3')知,M6bius带是不可定向的．证法2在证法2中,取M6bius带的两个坐标邻域U1,U2．相应的参数域分别为(0,2π)×(一δ,δ),(一π,π)×(一δ,δ)．而U1∪U2=M,U1∩U2=V1UV2,V1∩V2=∮．在V1中,0根据习题3．1．10知,Mobius带M是不可定向的．