若平移曲面M：x(u v)=a(u)+b(v)的参数曲线构成正交网 证明：M必为柱面．请帮忙给出正确

正确答案：(a)可分别取uv为曲线a(u)b(v)的弧长则x_u^'=a^'(u) x_v^'=b^'(v)E=x_u^'.x_u^'=a^'(u).a^'(u)=1F=x_u^'.x_v^'=0(参数曲线正交)G=x_v^'.x_v^'=b^'(v).b^'(v)=1于是EFG均为常数根据习题2．7．10曲面M是可展的．(b)因为x_uv^''=(x_u^')_v=[a^'(u)_v^'=0故第2基本形式的系数M=x_uv^''.n=0.n=0．再由F=M=0及定理2．5．6参数曲线构成曲率线网．从(a)知曲面M是可展的故情形1 L≡0应用曲面论基本公式(参阅例2．4．1)得(注意：E为常数故E_u^'=0=E_v^')．又因x_uv^''=0根据习题2．7．11的结果推得曲面M为柱面．情形2 N≡0应用曲面论基本公式(参阅例2．4．1)得(注意：G为常数故G_u^'=0=G_v^')．又因x_uv^''=0根据习题2．7．11的结果推得曲面M为柱面．情形3 LN=0或L=0或N=0难以讨论清楚．
(a)可分别取u,v为曲线a(u),b(v)的弧长,则xu'=a'(u),xv'=b'(v),E=xu'.xu'=a'(u).a'(u)=1,F=xu'.xv'=0(参数曲线正交),G=xv'.xv'=b'(v).b'(v)=1于是,E,F,G均为常数,根据习题2．7．10,曲面M是可展的．(b)因为xuv''=(xu')v=[a'(u)v'=0,故第2基本形式的系数M=xuv''.n=0.n=0．再由F=M=0及定理2．5．6,参数曲线构成曲率线网．从(a)知曲面M是可展的,故情形1L≡0,应用曲面论基本公式(参阅例2．4．1),得(注意：E为常数,故Eu'=0=Ev')．又因xuv''=0,根据习题2．7．11的结果推得曲面M为柱面．情形2N≡0,应用曲面论基本公式(参阅例2．4．1),得(注意：G为常数,故Gu'=0=Gv')．又因xuv''=0,根据习题2．7．11的结果推得曲面M为柱面．情形3LN=0,或L=0,或N=0,难以讨论清楚．