设A是n阶实对称矩阵 且A2=E．证明：存在正交矩阵Q 使得请帮忙给出正确答案和分析 谢谢！

正确答案：法1 因为A是n阶实对称矩阵所以存在n阶矩阵T使得T^－1AT=diag(λ₁λ₂…λ_n)其中λ₁λ₂…λ_n为A的n个特征值(重根按重数列出)．于是T^－1A²T=T^－1ATT^－1AT=diag(λ₁λ₂…λ_n).diag(λ₁λ₂…λ_n)=diag(λ₁²λ₂²…λ_n²)．又因为A²=E所以E=T^－1ET=T^－1A²T=diag(λ₁²λ₂²…λ_n²)．因此有λ_i=±1(i=12…n)．不妨设λ_i=1的重数为r则λ_i=－1的重数为n－r．只要通过置换将λ_i=1集中排列在前面则有正交矩阵Q使得 法2 因为A是n阶实对称矩阵且A²=E若令g(x)=x²－1则g(x)为A的零多项式且无重根故A相似于对角矩阵．设λ为A的任一特征值则λ=±1．不妨设λ_i=－1的重数为n－r．只要将λ_i=1集中排列在前面则有正交矩阵Q使得
法1因为A是n阶实对称矩阵,所以存在,n阶矩阵T,使得T－1AT=diag(λ1,λ2,…,λn),其中λ1,λ2,…,λn为A的n个特征值(重根按重数列出)．于是T－1A2T=T－1ATT－1AT=diag(λ1,λ2,…,λn).diag(λ1,λ2,…,λn)=diag(λ12,λ22,…,λn2)．又因为A2=E,所以E=T－1ET=T－1A2T=diag(λ12,λ22,…,λn2)．因此有λi=±1(i=1,2,…,n)．不妨设λi=1的重数为r,则λi=－1的重数为n－r．只要通过置换将λi=1集中排列在前面,则有正交矩阵Q,使得法2因为A是n阶实对称矩阵,且A2=E,若令g(x)=x2－1,则g(x)为A的零多项式,且无重根,故A相似于对角矩阵．设λ为A的任一特征值,则λ=±1．不妨设λi=－1的重数为n－r．只要将λi=1集中排列在前面,则有正交矩阵Q,使得