设T是线性空间V上的线性变换 如果Tk－1(ξ)≠0 但Tk(ξ)=0．求证ξ T(ξ) … Tk

正确答案：(1)当k=1时k－1=0此时只有一个向量ξ显然线性无关． (2)当k>1时设有t₀t₂…t_k－1使得t₀ξ+t₁T(ξ)+t₂T²(ξ)+…+t_k－1T^k－1(ξ)=0对上式两边同时作用T^k－1得t₀T^k－1(ξ)+t₁T^k(ξ)+t₂TT^k(ξ)+…+t_k－1T^k－2T^k(ξ)=0．由T^k－1(ξ)≠0T^k(ξ)=0得t₀=0代入(*)式得t₁T(ξ)+t₂T²(ξ)+…+t_k－1T^k－1(ξ)=0．再对上式两边作用T^k－2可得t₁=0这样一直继续下去最后可得t_i=0i=01…k－1．故ξT(ξ)…T^k－1(ξ)线性无关．
(1)当k=1时,k－1=0,此时只有一个向量ξ,显然线性无关．(2)当k>1时,设有t0,t2,…,tk－1使得t0ξ+t1T(ξ)+t2T2(ξ)+…+tk－1Tk－1(ξ)=0,对上式两边同时作用Tk－1得t0Tk－1(ξ)+t1Tk(ξ)+t2TTk(ξ)+…+tk－1Tk－2Tk(ξ)=0．由Tk－1(ξ)≠0,Tk(ξ)=0,得t0=0,代入(*)式得t1T(ξ)+t2T2(ξ)+…+tk－1Tk－1(ξ)=0．再对上式两边作用Tk－2可得t1=0,这样一直继续下去,最后可得ti=0,i=0,1,…,k－1．故ξ,T(ξ),…,Tk－1(ξ)线性无关．