设P0为两曲线x(s)与给定一个中心在m 半径为r>0的球面．设S为曲线C：x(s)的弧长 令f(s

正确答案：(1)由于C^∞曲线x(s)落在已给球面上故f(s)=[x(s)一m²一r²≡0(r为常数)；且对有f^'(s₀)=f^''(s₀)=…=f⁽ⁿ⁾(s₀)．因此x(s)在s₀处有n阶接触．由于n和s₀任取所以x(s)与该球面有任意阶接触．(2)(→)设曲线x(s)在x(s₀)点处与某球面有3阶接触则f⁽⁰⁾(s₀)=f(s₀)=f^'(s₀)=f^''(s₀)=f^'''(s₀)=0其中根据f(s₀)=0τ(s₀)=0有0=f^'''(s₀)=2[x(s₀)一m.k^'(s₀)V₂(s₀)．显然0=f^''(s₀)=2+2[x(s₀)一mk(s₀)V₂(s₀)蕴涵着[x(s₀)一mV₂(s₀)≠0．从上式并结合前面f^'''(s₀)=0的式子推得K^'(s₀)=0．(←)若τ(s₀)=0k^'(s₀)=0又k(s₀)>0作以为中心为半径的球面则这表明x(s)在x(s₀)与球面有3阶接触．最后如果平面曲线(r(s)≡0)x(s)与球面(x—m)²=r²(对不同的s球面可不相同)处处有3阶接触根据上述有k^'(s)≡0即k(s)=k(s₀)(常数)．再根据推论1．5．2知曲线x(s)为一个圆当然它属于某个(实际上是无穷多个)球面上的圆．如果平面曲线(τ(s)≡0)x(s)与一个固定的球面(x—m)²=r²处处有3阶接触当然它为平面与固定球面的交线不需证明x(s)必为该球面上的一个圆．
(1)由于C∞曲线x(s)落在已给球面上,故f(s)=[x(s)一m2一r2≡0(r为常数)；且对,有f'(s0)=f''(s0)=…=f(n)(s0)．因此,x(s)在s0处有n阶接触．由于n和s0任取,所以x(s)与该球面有任意阶接触．(2)(→)设曲线x(s)在x(s0)点处与某球面有3阶接触,则f(0)(s0)=f(s0)=f'(s0)=f''(s0)=f'''(s0)=0,其中根据f(s0)=0,τ(s0)=0,有0=f'''(s0)=2[x(s0)一m.k'(s0)V2(s0)．显然,0=f''(s0)=2+2[x(s0)一m,k(s0)V2(s0)蕴涵着[x(s0)一mV2(s0)≠0．从上式并结合前面f'''(s0)=0的式子,推得K'(s0)=0．(←)若τ(s0)=0,k'(s0)=0,又k(s0)>0,作以为中心为半径的球面,则这表明,x(s)在x(s0)与球面有3阶接触．最后,如果平面曲线(r(s)≡0)x(s)与球面(x—m)2=r2(对不同的s,球面可不相同)处处有3阶接触,根据上述,有k'(s)≡0,即k(s)=k(s0)(常数)．再根据推论1．5．2知,曲线x(s)为一个圆,当然它属于某个(实际上是无穷多个)球面上的圆．如果平面曲线(τ(s)≡0)x(s)与一个固定的球面(x—m)2=r2处处有3阶接触,当然,它为平面与固定球面的交线,不需证明,x(s)必为该球面上的一个圆．