设f(x)为Rn上的一个Cr函数(r≥1) M={x∈Rn｜f(x)=0}≠∮ 且对设M为R3中的一

正确答案：设V为P点的坐标邻域局部坐标为{uvx(uv)=(x(uv)y(uv)z(uv))其中x(uv)y(uv)z(uv)都为uv的C^k函数．因为M为C^k正则曲面故秩因此至少有一个2阶子式在P点不为0不妨设行列式根据逆映射(反函数)定理(参阅[8第108页定理8．4．3)可知在P的一个开邻域中反解出(uv)=(u(xy)v(xy))这里u(xy)v(xy)为C^k函数．因此z=z(uv)=z(u(xy)v(xy))=f(xy)即U为(xyf(xy))形式确定的C^k曲面片．
设V为P点的坐标邻域,局部坐标为{u,v,x(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)都为u,v的Ck函数．因为M为Ck正则曲面,故秩因此,至少有一个2阶子式在P点不为0,不妨设行列式根据逆映射(反函数)定理(参阅[8第108页定理8．4．3)可知,在P的一个开邻域中反解出(u,v)=(u(x,y),v(x,y)),这里u(x,y),v(x,y)为Ck函数．因此,z=z(u,v)=z(u(x,y),v(x,y))=f(x,y),即U为(x,y,f(x,y))形式确定的Ck曲面片．