设P0为两曲线x(s)与的交点 在P0的一旁邻近取点P1 P2 它们分别属于曲线x(s)与 且使曲线

正确答案：在s₀点作Taylor展开：(1)(2)由于y^'(s)=[x(s₀)+(s一s₀)x^'(s₀)^'=x^'(s₀)根据(1)切线y(s)与曲线x(s)在s₀有1阶接触．又若直线Z(x)=x(s₀)+(s一s₀)a(a为常单位向量)与曲线x(s)在s₀有1阶接触则a=Z^'(s₀)=x^'(s₀)Z(s)=x(s₀)+(s—s₀)s=x(s₀)+(s—s₀)x^'(s₀)它为曲线x(s)在s₀的切线．因此切线y(s)是曲线x(s)在s₀有1阶接触的唯一直线．(3)若切线y(s)=x(s₀)+(s—s₀)x^'(s₀)在任何s₀与x(s)有2阶接触则x(s₀)=y(s₀)=0即x^'(s)≡0．积分得x^'(s)=x^'(s₀)．再积分就有x(s)=x(s₀)+(s—s₀)x^'(s₀)即连通C²曲线x(s)为直线．
在s0点作Taylor展开：(1)(2)由于y'(s)=[x(s0)+(s一s0)x'(s0)'=x'(s0),根据(1),切线y(s)与曲线x(s)在s0有1阶接触．又若直线Z(x)=x(s0)+(s一s0)a(a为常单位向量)与曲线x(s)在s0有1阶接触,则a=Z'(s0)=x'(s0),Z(s)=x(s0)+(s—s0)s=x(s0)+(s—s0)x'(s0),它为曲线x(s)在s0的切线．因此,切线y(s)是曲线x(s)在s0有1阶接触的唯一直线．(3)若切线y(s)=x(s0)+(s—s0)x'(s0)在任何s0与x(s)有2阶接触,则x(s0)=y(s0)=0,即x'(s)≡0．积分得x'(s)=x'(s0)．再积分,就有x(s)=x(s0)+(s—s0)x'(s0),即连通C2曲线x(s)为直线．