设V1 V2是线性空间V的两个非平凡子空间 证明：在V中存在α 使αV1 αV2同时成立．请帮忙给出

正确答案：法1 因为V₁V₂都是非平凡子空间故存在向量αβ使αV₁βV₂如果有αV₂则α即为所求向量．假设α∈V₂则对数域F中任意数k有kα+βV₂若不然则由于α∈V₂故kα∈V₂于是β=(kα+β)－kα∈V₂这与βV₂矛盾．现取k₁≠k₂则k₁α+β． k₂α+β不可能都属于V₁若不然则(k₁α+β)－(k₂α+β)=(k₁－k₁)α∈₁于是α= 1 这与。矛盾故k₁α+βk₂α+β中至少有一个不属于V₁同时它也不属于V₂即为所求向量． 法2 因为V₁是非平凡子空间故存在如果则结论成立．若α∈V₂则由于V₂也是非平凡子空间故存在向量若则结论成立若β∈V₁则有 β∈V₁；α∈V₂．于是可推得并且．
法1因为V1,V2都是非平凡子空间,故存在向量α,β,使αV1,βV2如果有αV2,则α即为所求向量．假设α∈V2,则对数域F中任意数k,有kα+βV2,若不然,则由于α∈V2,故kα∈V2,于是β=(kα+β)－kα∈V2,这与βV2矛盾．现取k1≠k2,则k1α+β．k2α+β不可能都属于V1,若不然,则(k1α+β)－(k2α+β)=(k1－k1)α∈1,于是α=1,这与。矛盾,故k1α+β,k2α+β中至少有一个不属于V1,同时它也不属于V2,即为所求向量．法2因为V1,是非平凡子空间,故存在,如果,则结论成立．若α∈V2,则由于V2也是非平凡子空间,故存在向量,若,则结论成立,若β∈V1,则有,β∈V1；α∈V2,．于是可推得,并且．