设A为列满秩矩阵 AB=C 证明线性方程Bx=0与Cx=0同解.请帮忙给出正确答案和分析 谢谢!
设A为列满秩矩阵,AB=C,证明线性方程Bx=0与Cx=0同解.
请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!
参考解答
正确答案:设x1为线性方程Bx=0的任意一解且由已知AB=C可得 ABx1=Cx1=0则可知x1也为线性方程Cx=0的解.设y1为线性方程Cx=0的任意一解由已知AB=C可得Cy1=ABy1=0.又由已知A为列满秩矩阵则线性方程Ax=0只有零解.由于ABy1=0可以推出By1=0.则可知y1也为线性方程Bx=0的解.综上所述线性方程Bx=0与Cx=0同解.
设x1为线性方程Bx=0的任意一解,且由已知AB=C可得ABx1=Cx1=0则可知x1也为线性方程Cx=0的解.设y1为线性方程Cx=0的任意一解,由已知AB=C可得,Cy1=ABy1=0.又由已知A为列满秩矩阵,则线性方程Ax=0只有零解.由于ABy1=0,可以推出By1=0.则可知y1也为线性方程Bx=0的解.综上所述,线性方程Bx=0与Cx=0同解.
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