证明：在球面上 任何曲线的测地曲率可写成 其中θ表示曲线与经线的交角 s为曲线x(u(s) v(s)
证明：在球面
上，任何曲线的测地曲率可写成
其中θ表示曲线与经线的交角，s为曲线x(u(s)，v(s))的弧长参数．再求球面上纬圆的测地曲率(见习题2．8．4图)．由此推得哪些纬圆及经圆为测地线．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
473***102
2024-11-17 01:12:13
正确答案：对于球面第1基本形式为I=R2(du2+cos2udv2)．在经线v=常数上δv=0
将它代入Liouville公式得到
(a)当曲线为纬圆时
故纬圆的测地曲率为
由于纬圆的半径为
根据习题2．8．3
这与上述
是一致的．(b)如果纬圆的半径为r则
于是纬圆的测地曲率为
显然当且仅当r=R时kg=0即此纬圆为测地线．(c)经圆θ=0(常数)v=常数
故经圆都为测地线．
对于球面,第1基本形式为I=R2(du2+cos2udv2)．在经线v=常数上,δv=0,将它代入Liouville公式,得到(a)当曲线为纬圆时故纬圆的测地曲率为由于纬圆的半径为根据习题2．8．3,这与上述是一致的．(b)如果纬圆的半径为r,则于是,纬圆的测地曲率为显然,当且仅当r=R时,kg=0,即此纬圆为测地线．(c)经圆,θ=0(常数),v=常数,故经圆都为测地线．
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