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设P为R3中光滑曲面M上的一点．证明：当P不为脐点时，M的主曲率k1，k2(总假定k1≤k2)为P附近的光滑函数；当P为脐点时，主曲率，k1，k2为P附近的连续函数．
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参考解答
420***102
2024-11-17 00:57:52
正确答案：因为
所以k1k2为2次方程λ2一2Hλ+KG=0的两个根．由求根公式得到
(a)H2-KG>0k1
也为M上的光滑函数．(b)H2-KG=0k1=k2该点为脐点．此时即使HKG为M上的光滑函数(当然也连续)但由于
在x=0处不可导故
只为M上的连续函数．
因为所以,k1,k2为2次方程λ2一2Hλ+KG=0的两个根．由求根公式,得到(a)H2-KG>0,k12,该点不为脐点．此时,因H,KG为曲面M上的光滑函数,故也为M上的光滑函数．(b)H2-KG=0,k1=k2,该点为脐点．此时,即使H,KG为M上的光滑函数(当然也连续),但由于在x=0处不可导,故只为M上的连续函数．
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