试证：由a1=(0 1 1)T a2=(1 0 1)T a3=(1 1 0)T所生成的向量空间就是R

正确答案：设由向量组a₁a₂a₃所生成的向量空间为L即 L={x=λ₁a₁+λ₂a₂+λ₃a₃|λ₁λ₂λ₃∈R． 又令P=(a₁a₂a₃)因 故P可逆即a₁a₂a₃线性无关． 今取R³中的单位坐标向量组e₁e₂e₃显然R(e₁e₂e₃)=3即e₁e₂e₃是R³的一个基亦即R³可看成是由e₁e₂e₃所生成的向量空间． 由上可知R(a₁a₂a₃)=3且R(e₁e₂e₃a₁a₂a₃)=3 故R(a₁a₂a₃)=R(e₁e₂e₃)=R(e₁e₂e₃a₁a₂a₃)． 据推论知向量组a₁a₂a₃与e₁e₂e₃等价．因等价的向量组能互相线性表示因此由等价的两向量组所生成的两个向量空间是重合的即L=R³．
设由向量组a1,a2,a3所生成的向量空间为L,即L={x=λ1a1+λ2a2+λ3a3|λ1,λ2,λ3∈R．又令P=(a1,a2,a3),因故P可逆,即a1,a2,a3线性无关．今取R3中的单位坐标向量组e1,e2,e3,显然,R(e1,e2,e3)=3,即e1,e2,e3是R3的一个基,亦即R3可看成是由e1,e2,e3所生成的向量空间．由上可知R(a1,a2,a3)=3,且R(e1,e2,e3,a1,a2,a3)=3,故R(a1,a2,a3)=R(e1,e2,e3)=R(e1,e2,e3,a1,a2,a3)．据推论知向量组a1,a2,a3与e1,e2,e3等价．因等价的向量组能互相线性表示,因此,由等价的两向量组所生成的两个向量空间是重合的,即L=R3．