设e1 e2 ω1 ω2和R3中任何C2极小曲面M上存在局部等温参数．R3中任何C2极小曲面M上存在

正确答案：由流形的定义知M的每一点必有单连通的坐标邻域使得它的坐标参数为{xy(或{yz或{zx)．在此坐标邻域中M的参数表示为x=(xyf(xy))．设p=f_x^'q=f_y^'．由习题3．2．5(7)：得到因此它有解ξ=ξ(xy)．同理由习题3．2．5(7)：得到因此它有解η=η(xy)．又因为所以存在函数φ=φ(xy)满足φ_x^'=ξ φ_y^'=η(注意到)．显然因此它表明为正定矩阵．考察Levy变换由于故Levy变换的Jacobi行列式为这表明Levy变换(xy)→(uv)为参数变换.进而其中同理或由对称性知于是根据习题3．2．5(1)M的第1基本形式为这表明{uv为M的局部等温参数．
由流形的定义知,M的每一点必有单连通的坐标邻域,使得它的坐标参数为{x,y(或{y,z,或{z,x)．在此坐标邻域中,M的参数表示为x=(x,y,f(x,y))．设p=fx',q=fy'．由习题3．2．5(7)：得到因此,它有解ξ=ξ(x,y)．同理,由习题3．2．5(7)：得到因此,它有解η=η(x,y)．又因为,所以存在函数φ=φ(x,y)满足φx'=ξ,φy'=η(注意到)．显然,因此它表明为正定矩阵．考察Levy变换由于故Levy变换的Jacobi行列式为这表明Levy变换(x,y)→(u,v)为参数变换.进而其中同理或由对称性,知于是,根据习题3．2．5(1),M的第1基本形式为这表明{u,v为M的局部等温参数．