若两条C4连通曲线可建立对应 使对应点的从法线重合 则这两条曲线或者重合 或者都是平面曲线．请帮忙给

正确答案：证法1 由两曲线的从法线重合可设 其中S为曲线x(s)的弧长而为另一曲线的参数未必为其弧长．对s求导得=V₁(s)一λ(s)v(s)V₂(s)+λ^'(s)V₃(s)．因为两边用V₃(s)作内积得λ^'(s)=0λ(s)=λ₀(常数)x^'(s)=V₁(s)一λ_0τ(s)V₂(s)．于是 ．因此．这是公共的从法向即故λ₀τ²(s)=0．如果使得τ(s₀)≠0则λ₀=0．再由于λ(s)=λ₀为常数故λ(s)=λ₀≡0且即这两曲线完全重合．如果τ(s)≡0(Vs)根据定理1．2．2x(s)为平面曲线．设曲线所在平面的单位法向为V₃(s)=a．由于λ(s)≡λ₀(常数Vs)故x^'(s)=x(s)+λ(s)V₃(s)=x(s)+λ₀V₃(s)=x(s)+λ₀a．显然x(s)是将平面曲线x(s)向V₃(s)=a方向平移λ₀得到的所以它也是平面曲线．证法2依题意有 ．两边关于t求导得因为点乘(作内积)V₃(t)得到λ^'(t)=0 即 λ(t)=λ₀(常数)．从而由前式有再对上式求导得因为故点乘V₃(t)得如果λ₀=0则即两曲线重合．如果λ₀≠0则τ(t)≡0．由完全与证法1相应部分相同的推导得两条曲线与x(t)都为平面曲线．
证法1由两曲线的从法线重合,可设,其中S为曲线x(s)的弧长,而为另一曲线的参数,未必为其弧长．对s求导,得=V1(s)一λ(s)v(s)V2(s)+λ'(s)V3(s)．因为,两边用V3(s)作内积,得λ'(s)=0,λ(s)=λ0(常数),x'(s)=V1(s)一λ0τ(s)V2(s)．于是．因此．这是公共的从法向,即,故λ0τ2(s)=0．如果,使得τ(s0)≠0,则λ0=0．再由于λ(s)=λ0为常数,故λ(s)=λ0≡0,且,即这两曲线完全重合．如果τ(s)≡0(Vs),根据定理1．2．2,x(s)为平面曲线．设曲线所在平面的单位法向为V3(s)=a．由于λ(s)≡λ0(常数,Vs),故x'(s)=x(s)+λ(s)V3(s)=x(s)+λ0V3(s)=x(s)+λ0a．显然,x(s)是将平面曲线x(s)向V3(s)=a方向平移λ0得到的,所以它也是平面曲线．证法2依题意有．两边关于t求导,得因为,点乘(作内积)V3(t),得到λ'(t)=0,即λ(t)=λ0(常数)．从而由前式有再对上式求导,得因为故点乘V3(t),得如果λ0=0,则,即两曲线重合．如果λ0≠0,则τ(t)≡0．由完全与证法1相应部分相同的推导,得两条曲线与x(t)都为平面曲线．