设ε1 ε2 … εn是线性空间V的一组基 T是V上的线性变换．证明：T可逆的充分必要条件是Tε1

正确答案：先证必要性．若T可逆则存在逆变换T^－1使得TT^－1=T^－1T=E．且T^－1也是V的线性变换．如果Tε₁Tε₂…Tε_n线性相关则T^－1(Tε₁)T^－1(Tε₂)…T^－1(Tε_n)即ε₁ε₂…ε_n也线性相关这与假设ε₁ε₂…ε_n是基相矛盾故Tε₁Tε₂…Tε_n线性无关． 下面证充分性．若Tε₁Tε₂…Tε_n线性无关则由于V是n维线性空间所以它也是V的一组基从而对V中任一向量α₁存在k₁k₂…k_n使得α₁=k₁(Tε₁)+k₂(Tε₂)+…+k_n(Tε_n)=T(k₁ε₁+k₂ε₂+…+k_nε_n)即存在α=k₁ε₁+k₂ε₂+…+k_nε_n使Tα=α₁因此T为V的满射变换．如果又有β=l₁ε₁+l₂ε₂+…+l_nε_n满足Tβ=α₁即Tβ=l₁Tε₁+l₂Tε₂+…+l_nTε_n=k₁Tε₁+k₂Tε₂+…+k_nTε_n那么因Tε₁Tε₂…Tε_n是基所以l₁=k₁(i=12…n)即α=β因此T又是单射变换从而T为可逆变换．
先证必要性．若T可逆,则存在逆变换T－1使得TT－1=T－1T=E．且T－1也是V的线性变换．如果Tε1,Tε2,…,Tεn线性相关,则T－1(Tε1),T－1(Tε2),…,T－1(Tεn),即ε1,ε2,…,εn也线性相关,这与假设ε1,ε2,…,εn是基相矛盾,故Tε1,Tε2,…,Tεn线性无关．下面证充分性．若Tε1,Tε2,…,Tεn线性无关,则由于V是n维线性空间,所以它也是V的一组基,从而对V中任一向量α1,存在k1,k2,…,kn,使得α1=k1(Tε1)+k2(Tε2)+…+kn(Tεn)=T(k1ε1+k2ε2+…+knεn),即存在α=k1ε1+k2ε2+…+knεn,使Tα=α1,因此T为V的满射变换．如果又有β=l1ε1+l2ε2+…+lnεn,满足Tβ=α1,即Tβ=l1Tε1+l2Tε2+…+lnTεn=k1Tε1+k2Tε2+…+knTεn,那么,因Tε1,Tε2,…,Tεn是基,所以l1=k1(i=1,2,…,n),即α=β因此,T又是单射变换,从而T为可逆变换．