设曲面M1与M2沿着曲线C相切(即有相同的单位法向聆) C为曲面M1的测地线．证明：C也为M2的测地

正确答案：如果k(s₀)>0则由连续性存在开邻域(s₀一δx₀+δ)使k(s)>0．因M₁与M₂沿C相切即M₁与M₂沿C有相同的单位法向量．而C为M₁的测地线根据定理2．8．4(4)n=±V₂．再一次应用定理2．8．4(4)C在(s₀一δs₀+δ)这一段也为测地线．如果存在(ab)使k(s)=0(a1M₂上的测地线段．综上知C在上述两类点上关于M₂为测地线它满足测地线方程：根据的连续性知整个C上关于M₂满足上述测地线方程所以C为M₂上的测地线．
如果k(s0)>0,则由连续性,存在开邻域(s0一δ,x0+δ)使k(s)>0．因M1与M2沿C相切,即M1与M2沿C有相同的单位法向量．而C为M1的测地线,根据定理2．8．4(4),n=±V2．再一次应用定理2．8．4(4),C在(s0一δ,s0+δ)这一段也为测地线．如果存在(a,b)使k(s)=0(a1,M2上的测地线段．综上知,C在上述两类点上关于M2为测地线,它满足测地线方程：根据的连续性知,整个C上关于M2满足上述测地线方程,所以C为M2上的测地线．