(Dupin定理)在R3中 证明：三族互相正交的曲面交线必为所在曲面的曲率线．请帮忙给出正确答案和分

正确答案：在R³中取坐标uvw使坐标曲面u=常数v=常数w=常数恰为已给的三族曲面．设R³中任一点的向径为x(uvw)三族曲面正交 x_u^'.x_v^'=0x_v^'.x_w^'=0x_w^'.x_u^'=0．两边求导得由式(1)+式(2)一式(3)推得2x_uv^''.x_w^'=0．因为x_w^'为w=常数的法向量故x_uv^''.x_w^'=0蕴涵在曲面w=常数上M=0．再由F=x_u^'.x_v^'=0及定理2．5．6立知u=常数v=常数均为曲面w=常数的曲率线．
在R3中取坐标u,v,w,使坐标曲面u=常数,v=常数,w=常数恰为已给的三族曲面．设R3中任一点的向径为x(u,v,w),三族曲面正交xu'.xv'=0,xv'.xw'=0,xw'.xu'=0．两边求导,得由式(1)+式(2)一式(3),推得2xuv''.xw'=0．因为xw'为w=常数的法向量,故xuv''.xw'=0蕴涵在曲面w=常数上,M=0．再由F=xu'.xv'=0及定理2．5．6,立知u=常数,v=常数均为曲面w=常数的曲率线．