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求旋转曲面M：x(u，v)=(f(u)cosv，f(u)sinv，u) (f(u)>0)的测地线．设θ为测地线与经线的交角，f为交点到旋转轴之间的距离．证明：f(u)sinθ=常数． (2)设在旋转曲面M上有一条测地线与经线交于定角θ≠0．证明：此曲面M为圆柱面．
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参考解答
413***102
2024-11-16 23:12:19
正确答案：(1)由例2．3．2(6)知I=[1+f'2(u)du2+f2(u)dv2．根据Liouville公式(见习题2．8．7)
由此得关系式：
代入Liouville公式有(见定理2．8．3)
(2)在(1)中由f(u)sinθ=h(常数)得到
故此曲面x(uv)=(f(u)cosvf(u)sinvu)=(RcosvRsinvu)为圆柱面．
(1)由例2．3．2(6),知I=[1+f'2(u)du2+f2(u)dv2．根据Liouville公式(见习题2．8．7),由此得关系式：代入Liouville公式,有(见定理2．8．3)(2)在(1)中,由f(u)sinθ=h(常数),得到故此曲面x(u,v)=(f(u)cosv,f(u)sinv,u)=(Rcosv,Rsinv,u)为圆柱面．
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