设曲面MCR3可用两个连通坐标开邻域U1 U2覆盖 若U1∩U2有两个连通分支V1 V2 而坐标转换

正确答案：证法1(反证) 假设M可定向根据习题3．1. 3(2)存在M上的连续单位法向量场n(P)．适当选择U₁中的局部坐标{uvU₂中的局部坐标为使得在U₁中在U₂中于是在U₁∩U₂中应当有但由题设U₁∩U₂=V₁∪V₂且在V₁V₂中总有一个使此时这与上式相矛盾．证法2取点P∈V₁Q∈V₂{uv)为U₁中的局部坐标为U₂中的局部坐标因为开局部坐标邻域U₁U₂连通故它们必道路连通．从而可在U_i中存在连接P与Q的一条道路C_i(i=12)．在U₁中沿着道路C₁从P到达Q得到连续的单位法向量场而在U₂中沿着道路C₂从P到达Q得到连续的单位法向量场根据题设知坐标转换的Jacobi行列式在V₁中为正的故而坐标转换的Jacobi行列式在V₂中为负的故根据习题3．1．3(4’)M不可定向．证法3 参阅习题3．1．10图．在U₁中沿着道路C₁从P到达Q得到连续的单位法向量场再在U₂中沿着道路C₂^-1从Q到P得到连续单位法向量场到达P时它为由于故这表明绕闭曲线C₁C₂^-1走一圈后连续的单位法向量场在P点改变方向．根据习题3．1．3(3')M不可定向．证法4应用习题3．1．3注证明M不可定向．
证法1(反证)假设M可定向,根据习题3．1.3(2),存在M上的连续单位法向量场n(P)．适当选择U1中的局部坐标{u,v,U2中的局部坐标为,使得在U1中在U2中,于是,在U1∩U2中,应当有但由题设U1∩U2=V1∪V2,且在V1,V2中总有一个使此时,这与上式相矛盾．证法2取点P∈V1,Q∈V2,{u,v)为U1中的局部坐标,为U2中的局部坐标,因为开局部坐标邻域U1,U2连通,故它们必道路连通．从而,可在Ui中存在连接P与Q的一条道路Ci(i=1,2)．在U1中沿着道路C1,从P到达Q得到连续的单位法向量场而在U2中,沿着道路C2,从P到达Q得到连续的单位法向量场根据题设知,坐标转换的Jacobi行列式在V1中为正的,故而坐标转换的Jacobi行列式在V2中为负的,故根据习题3．1．3(4’),M不可定向．证法3参阅习题3．1．10图．在U1中,沿着道路C1,从P到达Q得到连续的单位法向量场再在U2中,沿着道路C2-1,从Q到P得到连续单位法向量场到达P时,它为由于故这表明绕闭曲线C1C2-1走一圈后,连续的单位法向量场在P点改变方向．根据习题3．1．3(3'),M不可定向．证法4应用习题3．1．3注证明M不可定向．