设曲面M的第3基本形式为Ⅲ=edu2＋2fdudv＋gdv2． 证明： (1)设以z轴为旋转轴的旋转

正确答案：根据例2．5．1旋转曲面的纬线是曲率线．在经线上有水平切线T的这一点曲面单位法向量n必垂直于该水平切线T．当然纬线是平行xOy平面截旋转曲面M所得的曲线n也垂直于这纬线的切向量V₁故n垂直于由T与V₁张成的平面．从而n平行于旋转轴(z轴)．由此推得n垂直于纬圆的主法向量V₂即n⊥V₂．因此k_n=kV₂.n=k.0=0即纬圆方向是渐近方向(参阅定义2．5．1)．它的截曲率就是法曲率0．由于纬圆为曲率线故有一个主曲率为0从而K_G=k₁k₂=0此点就是抛物点．
根据例2．5．1,旋转曲面的纬线是曲率线．在经线上有水平切线T的这一点,曲面单位法向量n必垂直于该水平切线T．当然,纬线是平行xOy平面截旋转曲面M所得的曲线,n也垂直于这纬线的切向量V1,故n垂直于由T与V1张成的平面．从而n平行于旋转轴(z轴)．由此推得n垂直于纬圆的主法向量V2,即n⊥V2．因此kn=kV2.n=k.0=0,即纬圆方向是渐近方向(参阅定义2．5．1)．它的截曲率就是法曲率0．由于纬圆为曲率线,故有一个主曲率为0,从而KG=k1k2=0,此点就是抛物点．