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设直线p交△ABC三边AB，BC，CA于L，M，N，如果直线AM，BN，CL，两两相交成一三角形RST，求证：AS，BT，CR共点．
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参考解答
4j8***102
2024-11-20 01:04:16
正确答案：×
如图1-2—4(a)．方法(一)：利用德萨格定理之逆定理．选三点形ABC和S豫,因为AB×ST＝L,BC×TR＝M,CA×RS＝N,且L,M,N共线p,所以此两个三点形之对应顶点连线AS,BT,CR三线共点．方法(二)：利用投影到无穷远来证明．将直线p投影到另一平面的无穷远线,则L,M,N都射影成无穷远点,如图1一2—4(b)．这时A′B′∥C′T′,B′C′∥A′R′,C′A′∥B′S′．因为A′C′B′R′和A′B′C′T′为平行四边形,所以A′为T′R′的中点,同理B′,C′分别为R′S′,S′T′的中点．如此,直线AS,BT,CR就射影为△R′S′T′的三条中线S,A′,T′B′,R′C′,而三角形的三条中线必共点,又由结合性是射影性质,故它们的原像AS,B7、,CR三线共点．
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