设f(x1 x2 … xn)=XTAX是一实二次型 λ1 λ2 … λn是A的特征值 且λ1≤λ2≤

正确答案：(1)设x∈N(A)则Ax=0两边同时左乘A^H可得A^HAx=A^H0=0故x∈N(A^HA)．反之若x∈N(A^HA)假设则Ax≠0．由x∈N(A^HA)得A^HAx=0即存在y=Ax≠0使得A^Hy=0由此可得Y∈R(A)且y∈N(A^H)又因为R(A)⊥N(A^H)故 (yy)=0与y≠0矛盾所以假设不成立．综上可得N(A)=N(A^HA)．同理可证N(A^H)=N(AA^H)． (2)若Y∈R(A)假设故不存在z使得y=AA^Hz即不存在x=A^Hz使得Y=Ax与Y∈R(A)矛盾故假设不成立所以y∈R(AA^H)． 反之若y∈R(AA^H)则存在z使得y=AA^Hz即存在x=A^Hz使得y=Ax故y∈R(A)．综上可证R(A)=R(AA^H)同理可证R(A^H)=R(A^HA)． (3)因为rank(A)=direR(A)故由(2)的结论显然可得rank(A)=rank(A^HA)=rank(AA^H)．
(1)设x∈N(A),则Ax=0,两边同时左乘AH,可得AHAx=AH0=0,故x∈N(AHA)．反之,若x∈N(AHA),假设,则Ax≠0．由x∈N(AHA),得AHAx=0,即存在y=Ax≠0,使得AHy=0,由此可得Y∈R(A),且y∈N(AH),又因为R(A)⊥N(AH),故(y,y)=0,与y≠0矛盾,所以假设不成立．综上可得N(A)=N(AHA)．同理可证N(AH)=N(AAH)．(2)若Y∈R(A),假设,故不存在z,使得y=AAHz,即不存在x=AHz,使得Y=Ax,与Y∈R(A)矛盾,故假设不成立,所以y∈R(AAH)．反之,若y∈R(AAH),则存在z,使得y=AAHz,即存在x=AHz,使得y=Ax,故y∈R(A)．综上可证R(A)=R(AAH),同理可证R(AH)=R(AHA)．(3)因为rank(A)=direR(A),故由(2)的结论显然可得rank(A)=rank(AHA)=rank(AAH)．