设V是复线性空间 而线性变换T在基底ε1 ε2 … εn下的矩阵是一Jordan块 证明： (1)V

正确答案：(1)设丁在基ε₁ε₂…ε_n下的矩阵为亦即有Tε₁=λε₁+ε₂ Tε₂=λε₂+ε₃…Tε_n－1=λε_n－1+ε_nTε_n=λε_n．设W是V的任意一个包含ε₁的不变子空间则λε₁Teε₁∈W从而由(**)式中第一式知ε₂=Tε₁－λε₁∈W．再由第二式得ε₃=Tε₂－λε₂∈W．如此继续下去可推得ε₁ε₂…ε_n都属于W从而W=V． (2)设W是任意一个非零不变子空间故有α∈W且以≠0．设α=k₁ε₁+k₂ε₂+…+k_nε_n且k_i为第一个不等于零的系数即α=k_iε_i+…+k_nε_n∈W．由于W是对T不变的子空间故Tα∈W于是 (T－λI)α=Tα一2α∈W．其中I表示恒等变换．但由(**)式得 (T－λI)ε_i=ε_i+1(T－λI)ε_N=0故有(T－λI)α=k_i(T－λI)ε_i+1+k_i+1(T－λI)ε_i+1+…+k_n(T－λI)ε_n=k_iε_i+k_i+1ε_i+1+…+k_nε_n=α₁∈W．同样由α₁∈W有 (T－λI)α₁=Tα₁－λα₁∈W即(T—λI)²α=(T—λI)α₁=k_iε_i+2+k_iε_i+3+…+k_n－22ε_n =α₂∈W．继续这个过程一般地有(T－λI)^lα=k_iε_i+l+k_i+1ε_i+l+1+…+k_n－1ε_n∈Wl=12…n－i．特别当l=n－i时有(T－λI)^lα－k_iε_n∈W．但_i≠0所以ε_n∈W即W包含ε_n． (3)若不然设V=V₁⊕V₂其中V₁V₂是V的两个非平凡不变子空间则由(2)知ε_n∈V₁ε_n∈V₂这与V₁∩V₂={0矛盾．
(1)设丁在基ε1,ε2,…,εn下的矩阵为亦即有Tε1=λε1+ε2,Tε2=λε2+ε3,…Tεn－1=λεn－1+εn,Tεn=λεn．设W是V的任意一个包含ε1的不变子空间,则λε1,Teε1∈W,从而由(**)式中第一式知ε2=Tε1－λε1∈W．再由第二式得ε3=Tε2－λε2∈W．如此继续下去,可推得ε1,ε2…,εn都属于W,从而W=V．(2)设W是任意一个非零不变子空间,故有α∈W,且以≠0．设α=k1ε1+k2ε2+…+knεn,且ki为第一个不等于零的系数,即α=kiεi+…+knεn∈W．由于W是对T不变的子空间,故Tα∈W,于是(T－λI)α=Tα一2α∈W．其中I表示恒等变换．但由(**)式得(T－λI)εi=εi+1,(T－λI)εN=0,故有(T－λI)α=ki(T－λI)εi+1+ki+1(T－λI)εi+1+…+kn(T－λI)εn=kiεi+ki+1εi+1+…+knεn=α1∈W．同样由α1∈W,有(T－λI)α1=Tα1－λα1∈W,即(T—λI)2α=(T—λI)α1=kiεi+2+kiεi+3+…+kn－22εn=α2∈W．继续这个过程,一般地有(T－λI)lα=kiεi+l+ki+1εi+l+1+…+kn－1εn∈W,l=1,2,…,n－i．特别当l=n－i时,有(T－λI)lα－kiεn∈W．但i≠0,所以εn∈W,即W包含εn．(3)若不然,设V=V1⊕V2,其中V1,V2是V的两个非平凡不变子空间,则由(2)知εn∈V1,εn∈V2,这与V1∩V2={0矛盾．