设 f(x1 x2 … xn)是一个秩为n的二次型 证明：有Rn的一个维子空间V1存在(s为符号差数

正确答案：设f的正惯性指数为p负惯性指数为qp+q=n．则存在可逆矩阵CY=CX使得f=y₁²+…+y_p²－y_p－1²－…－y_p+q²因故下面仅就p≤q时给出证明(当p>q时同理可证)． 将Y=CX展开可得方程组取向量 ε₁=(10…010…0)ε₂=(01…001…0)… ε_p=(00…100…1…0)．显然ε₁ε₂…ε_p线性无关代人Y=CX方程组中可得解α₁α₂…α_p线性无关且满足Cα₁=ε₁Cα₂=ε₂…Cα_p=ε_p．下面证P维子空间L(α₁α₂…α_p)即为所求空间V₁． 设x₀∈V₁且满足关系x₀=k₁α₁+k₂α₂+…+k_pα_p则y₀=Cx₀=k₁Cα₁+k₂Cα₂+…+k_pCα_p=k₁ε₁+k₂ε₂+…+k_pε_p代人二次型．f中可得
设f的正惯性指数为p,负惯性指数为q,p+q=n．则存在可逆矩阵C,Y,=CX,使得f=y12+…+yp2－yp－12－…－yp+q2,因故下面仅就p≤q时给出证明(当p>q时同理可证)．将Y=CX展开可得方程组取向量ε1=(1,0,…,0,1,0,…,0),ε2=(0,1,…,0,0,1,…,0),…εp=(0,0,…1,0,0,…,1,…,0)．显然ε1,ε2,…,εp线性无关,代人Y=CX方程组中可得解α1,α2,…,αp线性无关,且满足Cα1=ε1,Cα2=ε2,…,Cαp=εp．下面证P维子空间L(α1,α2,…,αp)即为所求空间V1．设x0∈V1,且满足关系x0=k1α1+k2α2+…+kpαp,则y0=Cx0=k1Cα1+k2Cα2+…+kpCαp=k1ε1+k2ε2+…+kpεp,代人二次型．f中可得