设F(x)＝f(-x) 且f(x)有n阶导数 求F(n)(x)； (2)设f(x)＝xe-x 求f(

正确答案：解 (1)Fˊ(x)＝-fˊ(-x) F〞(x)＝(－1)²f〞(-x)…F^(k)(x)＝(-1)^k f^k(-x) F^(k＋1)(x)＝(F^(k)(x))ˊ＝((-1)^kf^(k)(-x))ˊ＝(-1)^k+1f^k+1(-x)由数学归纳法证明成立即F⁽ⁿ⁾(x)＝(-1)ⁿfⁿ(-x)(2)fˊ(x)＝e^-x+e^-x(-1)x＝(1－x)e^-x＝-(x－1)e^-x f〞(x)＝-e^-x＋xe^-x－e^-x＝(-1)²(x－2)e^-x f'''(x)＝(-1)³(x－3)e^-x f^(k)(x)＝(-1)^k(x－k)e^-x f^(k＋1)(x)＝((-1)^k(x－k)e^-x)ˊ＝(-1)^k[e^-x+(x－k)(-e^-x) ＝(-1)^k+1(x－(k+1))e^-x由数学归纳法知f⁽ⁿ⁾(x)＝(-1)ⁿ(x－n)e^-x
解(1)Fˊ(x)＝-fˊ(-x)F〞(x)＝(－1)2f〞(-x),…,F(k)(x)＝(-1)kfk(-x)F(k＋1)(x)＝(F(k)(x))ˊ＝((-1)kf(k)(-x))ˊ＝(-1)k+1fk+1(-x)由数学归纳法证明成立,即F(n)(x)＝(-1)nfn(-x)(2)fˊ(x)＝e-x+e-x(-1)x＝(1－x)e-x＝-(x－1)e-xf〞(x)＝-e-x＋xe-x－e-x＝(-1)2(x－2)e-xf'''(x)＝(-1)3(x－3)e-xf(k)(x)＝(-1)k(x－k)e-xf(k＋1)(x)＝((-1)k(x－k)e-x)ˊ＝(-1)k[e-x+(x－k)(-e-x)＝(-1)k+1(x－(k+1))e-x由数学归纳法知f(n)(x)＝(-1)n(x－n)e-x