设f(x)是区间[α b]上的一个非常数的连续函数 M m分别是最大 最小值。求证：存在[α β]真

正确答案：(i)用反证法即设对所有[αβ 真包含于 [αb都有m≤f(x)≤Mx∈(αb)则对任意x∈[αb取[αβ=[x-△xx+△x则 f(x)=M=m此时f(x)为常数函数与题设矛盾。故存在[αβ真包含于 [αb使m＜f(x)<Mx∈(αβ)。 (ii)因为f(x)为非常数函数．所以M≠m且根据连续函数最值性定理存在x'x'∈[αb使 f(x')=Mf(x')=m则令α=x'β=x'(或α=x'β=x')此时f(α)f(β)恰好是f(x)在[αb上的最大值最小值(最小值、最大值)。
(i)用反证法,即设对所有[α,β真包含于[α,b,都有m≤f(x)≤M,x∈(α,b)则对任意x∈[α,b,取[α,β=[x-△x,x+△x则f(x)=M=m,此时f(x)为常数函数,与题设矛盾。故存在[α,β真包含于[α,b,使m＜f(x)<M,x∈(α,β)。(ii)因为f(x)为非常数函数．所以M≠m且根据连续函数最值性定理,存在x',x'∈[α,b,使f(x')=M,f(x')=m则令α=x',β=x'(或α=x',β=x'),此时f(α),f(β)恰好是f(x)在[α,b上的最大值,最小值(最小值、最大值)。