对R3中定向光滑的2维闭曲面M 如果设M为R3中的2维紧致 光滑 连通曲面 H为其平均曲率 则其中等

正确答案：设k₁k₂为曲面M的两个主曲率M⁺={P∈M｜K_G(P)≥0)M^-={P∈M｜K_G(P)<0)则有(←)设M为球面则H²=K_G≥0M=M⁺．根据Gauss—Bonnet公式上面式子中各不等号全为等号即有(→)设且在M⁺上k₁=k₂．根据H²的连续非负知H_M-｜≡0．从引理3．1．5使得K_G(P₀)>0．由K_G的连续性必有P₀的连通开邻域U_P0使得K_G｜U_P0>0则．在U_P0上有k₁=k₂即U_P0为全脐的．应用引理3．1．4(1)M｜U_P0为球面片．在上k_P0=k₂为非零常数．因为主曲率k₁k₂连续在U_P0上k₁=k₂=常数≠0所以k₁=k₂在M上处处成立．因此当成立时M是紧致、全脐的光滑连通曲面定理3．1。1指出M只能为球面．综合上述有
设k1,k2为曲面M的两个主曲率,M+={P∈M｜KG(P)≥0),M-={P∈M｜KG(P)<0),则有(←)设M为球面,则H2=KG≥0,M=M+．根据Gauss—Bonnet公式,上面式子中各不等号全为等号,即有(→)设且在M+上,k1=k2．根据H2的连续非负知HM-｜≡0．从引理3．1．5,,使得KG(P0)>0．由KG的连续性,必有P0的连通开邻域UP0,使得KG｜UP0>0,则．在UP0上,有k1=k2,即UP0为全脐的．应用引理3．1．4(1),M｜UP0为球面片．在上,kP0=k2为非零常数．因为主曲率k1,k2连续,在UP0上,k1=k2=常数≠0,所以k1=k2在M上处处成立．因此,当成立时,M是紧致、全脐的光滑连通曲面,定理3．1。1指出M只能为球面．综合上述,有