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设{r,θ}为平面R2上的极坐标系,其参数表示为x=(rcosθ,rsinθ).则第1基本形式为I=dr2+r2dθ2,且在极坐标系下,Laplace算子为其中f为r,θ的C2函数.
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参考解答
正确答案:证法1计算得xr'=(cosθsinθ)x'=(一rsinθrcosθ)E=xr'.xr'=cos2θ+sin2θ=1F=xr'.xθ'=一rcosθsinθ+rsinθcosθ=0 (即xr'⊥xθ')G=xθ'.xθ'=r2sin2θ+r2cos2θ=r2I=Edr2+2Fdrdθ+Gdθ2一dr2+r2dθ2.取于是对C2函数f
证法2根据习题3.2.3的证法2有
证法1计算得xr'=(cosθ,sinθ),x'=(一rsinθ,rcosθ),E=xr'.xr'=cos2θ+sin2θ=1,F=xr'.xθ'=一rcosθsinθ+rsinθcosθ=0(即xr'⊥xθ'),G=xθ'.xθ'=r2sin2θ+r2cos2θ=r2,I=Edr2+2Fdrdθ+Gdθ2一dr2+r2dθ2.取于是,对C2函数f,证法2根据习题3.2.3的证法2,有
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