设A B皆为非空有界数集 定义数集A+B={z｜z=x+y x∈A y∈B}。证明： sup(A+B
设A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z｜z=x+y，x∈A，y∈B}。证明： sup(A+B)=supA+supB
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参考解答
432***102
2024-11-18 00:21:28
正确答案：证明 用定义直接验证： ①对一切z∈A+B显然有z=x+y≤supA+supB即supa+supB是A+B的上界； ②对任何α＜supA+supB存在分解α=α1+α2使得α1＜supAα2＜supB．对α1由 定义存在x0∈A使得x0＞α1；对α2由定义存在y0∈B使得y0＞α2。则对α存在 z0=x0+y0∈A+B使得z0＞α1+α2=α。即supA+supB是A+B的上确界。
证明用定义直接验证：①对一切z∈A+B,显然有z=x+y≤supA+supB,即supa+supB是A+B的上界；②对任何α＜supA+supB,存在分解α=α1+α2,使得α1＜supA,α2＜supB．对α1,由定义,存在x0∈A,使得x0＞α1；对α2,由定义,存在y0∈B,使得y0＞α2。则对α,存在z0=x0+y0∈A+B,使得z0＞α1+α2=α。即supA+supB是A+B的上确界。
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