设A B∈Cn×n 当．AB=BA时 计算可知eAeB=eBeA=eA+B． (1)试举例说明 一般

正确答案：(1)取则．容易看出AB已经是J0rdan标准形．于是而令则．显然 (2)设A的特征值为λ₁λ₂…λ₃相应重数分别为m₁m₂…m₃再设A的Jordan标准形为J则有可逆矩阵P使得其中i=12…S．于是其中i=12…S．因此有=e^m1λ1e^m2λ2…e^msλs=e^m1λ1+^m2λ2+…+^ms=e^trA利用上式结论即得∣e^A∣.∣ e^B∣=∣e^B ∣.∣ e^A∣=e^trA.e^trB=e^trA－trB=e^tr(A+B)=∣e^A+B∣．
(1)取,则．容易看出A,B已经是J0rdan标准形．于是,而,令,则．显然,,(2)设A的特征值为λ1,λ2,…,λ3相应重数分别为m1,m2,…,m3再设A的Jordan标准形为J,则有可逆矩阵P,使得,其中,i=1,2,…,S．于是其中,i=1,2,…,S．因此有=em1λ1em2λ2…emsλs=em1λ1+m2λ2+…+ms=etrA利用上式结论即得∣eA∣.∣eB∣=∣eB∣.∣eA∣=etrA.etrB=etrA－trB=etr(A+B)=∣eA+B∣．