设f(x)为Rn上的一个Cr函数(r≥1) M={x∈Rn｜f(x)=0}≠∮ 且对证明：2维单位球

正确答案：证法1 设x(t)=(x(t)y(t)z(t))为R³中的2维单位球面S²：x²+y²+z²=1中过点P=(x(0)y(0)z(0))的任一条C¹曲线则x²(t)+y²(t)+z²(t)=1两边对t求导得到2(x(t)y(t)z(t)).(x^'(t)y^'(t)z^'(t))=2[x(t)x^'(t)+y(t)y^'(t)+z(t)z^'(t)=0即(x(t)y(t)z(t))⊥(x^'(t)y^'(t)z^'(t))从而P=x(0)=(x(0)y(0)z(0))为P=x(0)点处的单位法向量．于是x为S²上整体连续的单位法向量场．或者从F(xyz)=x²+y²+z²一1(F_x^'F_y^'F_z^')=(2x2y2z)为法向量场从而n=(xyz)为S²上的整体单位法向量场．根据题3．1．3(2)知S²是可定向的曲面．证法2设U_上U_下U_左U_右U_前U_后为6个开半球面用xyz中的2个作为它们的局部坐标．例如：等．这6块曲面片覆盖了S²．可验证任两片若有交集那么其Jacobi行列式大于0．如：根据定义3．1．2知S²是可定向的．证法3应用北极投影与南极投影参阅[7第187页例2方法2．证法4应用单位体积元素参阅[7第187页例2方法4．
证法1设x(t)=(x(t),y(t),z(t))为R3中的2维单位球面S2：x2+y2+z2=1中过点P=(x(0),y(0),z(0))的任一条C1曲线,则x2(t)+y2(t)+z2(t)=1两边对t求导,得到2(x(t),y(t),z(t)).(x'(t),y'(t),z'(t))=2[x(t)x'(t)+y(t)y'(t)+z(t)z'(t)=0,即(x(t),y(t),z(t))⊥(x'(t),y'(t),z'(t)),从而P=x(0)=(x(0),y(0),z(0))为P=x(0)点处的单位法向量．于是,x为S2上整体连续的单位法向量场．或者从F(x,y,z)=x2+y2+z2一1,(Fx',Fy',Fz')=(2x,2y,2z)为法向量场,从而n=(x,y,z)为S2上的整体单位法向量场．根据题3．1．3(2)知,S2是可定向的曲面．证法2设U上,U下,U左,U右,U前,U后为6个开半球面,用x,y,z中的2个作为它们的局部坐标．例如：等．这6块曲面片覆盖了S2．可验证任两片若有交集,那么其Jacobi行列式大于0．如：根据定义3．1．2知S2是可定向的．证法3应用北极投影与南极投影,参阅[7第187页例2方法2．证法4应用单位体积元素,参阅[7第187页例2方法4．