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设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点. (1)试求曲线L的方程; (2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.
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参考解答
正确答案:(1)设曲线L上过点P(xy)的切线方程为Y—y=y'(X-x)令X=0得该切线在y轴上的截距为y-xy'.由题设有此为一阶齐次微分方程令
将此方程转化为
两边积分并代入
。由于L经过点
于是L的方程为
。(2)设第一象限内曲线
在点P(xy)处的切线方程为
它与x轴及y轴的交点分别为
。于是所求面积为
令 S'(x)=0得
容易验证
是函数S(x)在
内的极小值点且是唯一的极小值点即为最小值点.于是所求切线为
。
[分析(1)先求出切线方程及其在y轴上的截距,由题设可得到与待求曲线对应的函数所满足的微分方程.(2)由面积最小,可得曲线上的切点,从而求出对应的切线方程.[评注本题是一道综合题,主要考查由实际问题建立微分方程的能力、微分方程的求解、导数与定积分的几何应用以及求函数的极值.求曲线在任意点P(x,y)处的切线方程时,由于任意点已用x和y表示,因此切线上任意点的坐标设为(X,Y),以示区别.这是求解这类问题的一种习惯做法,应引起注意.
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