设L是一条平面曲线 其上任意一点P(x y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截

大学本科 已帮助: 时间:2024-11-09 11:47:43

设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点
. (1)试求曲线L的方程; (2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.
请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!

难度:⭐⭐⭐

题库:大学本科,理学,数学类

标签:坐标轴,切线,曲线

参考解答

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4j8***101

2024-11-09 11:47:43

正确答案:(1)设曲线L上过点P(xy)的切线方程为Y—y=y'(X-x)令X=0得该切线在y轴上的截距为y-xy'.由题设有此为一阶齐次微分方程令将此方程转化为两边积分并代入。由于L经过点于是L的方程为。(2)设第一象限内曲线在点P(xy)处的切线方程为它与x轴及y轴的交点分别为。于是所求面积为令 S'(x)=0得容易验证是函数S(x)在内的极小值点且是唯一的极小值点即为最小值点.于是所求切线为
[分析(1)先求出切线方程及其在y轴上的截距,由题设可得到与待求曲线对应的函数所满足的微分方程.(2)由面积最小,可得曲线上的切点,从而求出对应的切线方程.[评注本题是一道综合题,主要考查由实际问题建立微分方程的能力、微分方程的求解、导数与定积分的几何应用以及求函数的极值.求曲线在任意点P(x,y)处的切线方程时,由于任意点已用x和y表示,因此切线上任意点的坐标设为(X,Y),以示区别.这是求解这类问题的一种习惯做法,应引起注意.

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