设y＝y(x)是区间(－π π)内过点的光滑曲线．当－π＜x＜0时 曲线上任一点处的法线都过原点；当

正确答案：当－π＜x＜0时设(xy)为曲线上任意一点由导数几何意义法线斜率为．由题意知法线斜率又为即 ydy＝－xdx 两边积分得 y²＝－x²＋C． 由初始条件得C＝π²(－π＜x＜0) 当0≤x＜π时有y'＋y＋x＝0． 首先易得y'＋y＝0的通解为y^*＝C₁cosx＋C₂sinx其次令y'＋y＋x＝0的特解为y₁＝Ax＋B则有0＋Ax＋B＋x＝0得A＝－1B＝0y₁＝－x因而y'＋y＋x＝0的通解为y＝C₁cosx＋C₂sinx－x．由于y＝y(x)是(－ππ)内的光滑曲线故y(x)在x＝0处连续而且可导．于是 将上述条件代入y'＋y＋x＝0的通解可得C₁＝πC₂＝1故 y＝πcosx＋sinx－x(0≤x＜π)． 所以y＝y(x)的表达式为。
[分析本题考查导数的几何意义、微分方程求解和函数连续性，是一个比较综合的问题．在区间(－π，0)内，根据已知条件建立微分方程求解，在区间[0，π)上求解二阶常系数非齐次线性微分方程，并且根据曲线光滑条件确定任意常数．[评注1在区间[a，b上的光滑曲线y＝f(x)指的是函数f(x)在区间[a，b上有一阶连续导数．[评注2在区间(－π，0)内的微分方程也可如下得到：曲线上任意一点(x，y)的法线方程为，又法线都过原点，即X＝0，Y＝0，代入即得微分方程yy'＝－x．