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设A，B是两个n阶实对称矩阵，且B是正交矩阵．证明：存在n阶实可逆矩阵P，使PTAP与PTBP同时为对角矩阵．
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参考解答
473***101
2024-11-12 07:28:01
正确答案：因为B是正定矩阵所以存在一个n阶实可逆矩阵C使CTBC=E．其中E为n阶单位矩阵．又因为CTAC还是n阶实对称矩阵所以也存在一个n阶实正交矩阵Q使OT(CTAC)Q=diag(λ1λ2…λn)其中λ1λ2…．λn为CTAC的特征值于是只要令P=CQ则P为可逆矩阵此时有PTAP=QT(CTAC)Q=diag(λ1λ2…λn)且PTBP=QT(CTBC)Q=QTQ=E．
因为B是正定矩阵,所以存在一个n阶实可逆矩阵C,使CTBC=E．其中E为n阶单位矩阵．又因为CTAC还是n阶实对称矩阵,所以也存在一个n阶实正交矩阵Q,使OT(CTAC)Q=diag(λ1,λ2,…,λn),其中λ1,λ2,…．λn为CTAC的特征值,于是只要令P=CQ,则P为可逆矩阵,此时有PTAP=QT(CTAC)Q=diag(λ1,λ2,…,λn),且PTBP=QT(CTBC)Q=QTQ=E．
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