已知三阶矩阵A与三维向量x 使得向量组x Ax A2x线性无关 且满足A3x=3Ax-2A2x． (
已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax-2A2x． (1)记P=(x，Ax，A2x)，求三阶矩阵B，使A=PBP-1． (2)计算行列式|A+E|．
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参考解答
473***101
2024-11-11 05:10:47
正确答案：(1)设B=
则由AP=PB得
上式司写成 Ax=a1x+b1Ax+c1A2x ① A2x=a2x+B2Ax+c2A2x ② A3x=a3x+b3Ax+c3A2x ③将A3x=3Ax一2A2X代入(3)式得 3Ax一2A2x=a3x+b3Ax+c3A2X ④由于xAxA2x线性无关则由①式可得a1=c1=0b1=1；由②式可得a2=b2=0c2=1；由④式可得a2=0b3=3c3=一2．从而
(2)由(1)知A与B相似从而A+E与B+E相似．故 |A+E|=|B+E|=
=一4
(1)设B=则由AP=PB,得上式司写成Ax=a1x+b1Ax+c1A2x,①A2x=a2x+B2Ax+c2A2x,②A3x=a3x+b3Ax+c3A2x,③将A3x=3Ax一2A2X代入(3)式得3Ax一2A2x=a3x+b3Ax+c3A2X,④由于x,Ax,A2x线性无关,则由①式可得a1=c1=0,b1=1；由②式可得a2=b2=0,c2=1；由④式可得a2=0,b3=3,c3=一2．从而(2)由(1)知A与B相似,从而A+E与B+E相似．故|A+E|=|B+E|==一4
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